Señales y Sistemas: Transformada Z y Transformada Z inversa

¿Qué es la Transformada Z?

En el dinámico campo del análisis de señales y sistemas, la Transformada Z emerge como una herramienta matemática esencial, proporcionando un puente crucial entre el dominio del tiempo discreto y el dominio de la frecuencia. Este artículo se sumerge en la profundidad y la versatilidad de la Transformada Z, desvelando su capacidad para descomponer y examinar señales discretas de una manera que otras técnicas simplemente no pueden igualar.

La Transformada Z se define como un operador que transforma una secuencia (función discreta) en una función de la variable compleja continua z. Genéricamente, se denota como:

La Transformada Z es una herramienta matemática que nos permite convertir una señal discreta en el dominio del tiempo a una función continua en el dominio de la frecuencia compleja. Esta transformación nos permite analizar la señal en términos de su contenido de frecuencia. La Transformada Z, X(z), es el equivalente de la Transformada de Laplace en tiempo discreto. Como z es una variable compleja, el dominio Z es un plano complejo.

¿Qué aplicaciones tiene la transformada Z?

Procesamiento de señales digitales: La transformada z permite representar y manipular señales que son muestreadas y codificadas en forma digital, como las que se usan en los sistemas de radar, telecomunicaciones, audio, video e imagen.
Análisis y proyecto de circuitos digitales: La transformada z facilita el estudio de la respuesta y la estabilidad de circuitos que operan con señales discretas, como los filtros digitales, los generadores de funciones, los conversores analógico-digitales y viceversa.
Sistemas de control de procesos por computadoras: La transformada z permite modelar y diseñar sistemas que son controlados por computadoras mediante señales discretas, como los sistemas antibloqueo, los sistemas de vibración, los sistemas de motor y los sistemas de prótesis.

Es importante destacar que existe una relación muy cercana entre la transformada de Fourier y la transformada Z; en particular, si se observa la sustitución de la variable compleja ejω por la variable compleja z. Cuando existe, la transformada de Fourier es simplemente X(z) con z = ejω. La transformada de Fourier es la transformada Z tomando Z = 1.

Una de las formas más comunes de aplicar la Transformada Z es por medio del método de inspección; el cuál consiste en identificar la función discreta que se desea transformar a partir de una tabla de pares de funciones discretas con sus respectivas transformaciones. Sobra decir, que la tabla se crea a partir de tomar las funciones discretas más comunes y aplicar la definición de la Transformada Z a cada una.

Tabla de transformada Z:

La Tabla 1 presenta la transformada Z de algunas funciones. La tabla se realizó con base en las presentadas en obras como las de Ogata (1996), Kuo (2009) y Fernández del Busto y Ezeta (2013).

Señal continua f(t)	Transformada de Laplace F(s)=	Señal discreta f[n]	Transformada Z X(z) =
δ(t) Impulso unitario	1	δ [n] Impulso unitario	1
1 o u(t) Escalón unitario		1 o u[n] Escalón unitario
t Función rampa		n Función rampa
t2		n2
e-at		e-an
eat		ean

sen(bt)		rn sen(bn)
cos(bt)		rn cos(bn)
te-at		ne-an
		an
		a-n
		(-a)n
		nan

¿Cuáles son las propiedades de la transformada Z?

La Tabla 2 presenta algunas de las propiedades de la transformada Z para aplicarlas a distintas situaciones que se pudieran presentar en el análisis matemático de un sistema de control discreto. La tabla se realizó con base en las presentadas en obras como la de Ogata (1996), Kuo (2009) y Fernández del Busto y Ezeta (2013).

Linealidad	Z{ax1[n] ± bx2[n]} = Z{ax1[n]} ± Z{bx2[n]} = aX1(z) ± bX2(z) siendo x1[n] y x2[n] dos funciones en tiempo discreto distintas.
Multiplicación por una constante	Z{ax[n]} = a Z{x[n]} = aX(z) siendo x[n] una función en tiempo discreto cualquiera.
Retraso en tiempo	Z{x[n-a]} = z-aX(z) siendo x[n-a] una función en tiempo discreto cualquiera con un retraso de valor constante a.
Desplazamiento en tiempo	Z{x[n+1]} = zX(z) – zx(0), siendo x(0) una condición inicial dada. Z{x[n+2]} = z2X(z) – z2x(0) – zx(T), siendo x(0) y x(1) condiciones iniciales dadas. Z{x[n+m]} = zmX(z) – zmx(0) – zm-1x(1) – zm-2x(2) - … - zx(m-1) siendo m un valor constante y x(1), x(2), … , x(m-1) condiciones iniciales dadas.
Multiplicación por la variable de tiempo	Z{nx[n]} = -Tz Siendo la derivada de X(z).
Multiplicación por an	Z{anx[n]} = X(a-1z) a es cualquier constante real elevada a la n (n corresponde a la variable de tiempo discreto).
Multiplicación por e-an
Valor inicial
Valor final
Convolución	x[n] * y[n] = = X(z)Y(z) siendo * el operador de convolución y la definición de la misma.

Ejemplo 1. Propiedad de linealidad. Sea x[n]= e3n – e-2n, su transformada Z sería la siguiente:

Ejemplo 2. Multiplicación por una constante. Tomemos el ejemplo anterior haciendo la siguiente modificación: x[n]= 5 e3n – 2e-2n.

Ejemplo 3. Retraso en tiempo. Sea x[n] un escalón unitario desfasado en tiempo 3 unidades x[n] = u[n - 3], su transformada Z sería la siguiente:

Ejemplo 4. Multiplicación por an. Sea x[n] = 0.1n u[n] , su transformada Z sería la siguiente:

¿Qué es la Transformada inversa de Z?

Por otro lado; la transformada inversa de Z es el proceso contrario a la transformada Z. Se trata de un procedimiento que permite convertir o transferir una señal en el dominio Z a una señal discreta en el tiempo para una determinada región de convergencia. Este proceso se realiza utilizando el teorema de Cauchy y la fórmula integral de Cauchy.

Existen varios métodos para calcular la transformada inversa de Z, incluyendo la inspección, la expansión de fracción parcial, la expansión de la serie de potencias y la integración de contorno. Cada uno de estos métodos tiene sus propias ventajas y aplicaciones, y pueden ser utilizados dependiendo del tipo de problema que se esté resolviendo.

Método de inspección:

Consiste nuevamente en buscar la función en dominio complejo que se desea transformar en la tabla 1 y ver cual es el correspondiente a esa función en el dominio discreto.

Método de residuos (integral de contorno):

El método de residuos con la integral de contorno consiste en que utilizando técnicas de variables complejas y el teorema de la integral de Cauchy se puede llegar a que esta integral puede ser representada como una serie de residuos:

Este método se suele usar cuando se tienen polos reales repetidos y polos reales no repetidos. Esto se debe a que al aplicar el método a ejercicios con polos complejos, se eleva bastante la dificultad de calculo y se vuelve un método impráctico.

Caso 1. Polos reales no repetidos

El primer paso que se debe realizar es determinar el valor de los polos para la función que se pretende anti transformar.

Una vez determinados los polos de la función se determinan los residuos para cada uno de ellos. Esa relación esta dada de la siguiente manera:

Finalmente se suman cada uno de los residuos para obtener la función discreta.

Caso 2. Polos reales repetidos

El primer paso que se debe realizar es determinar el valor de los polos para la función que se pretende anti transformar.

Una vez determinados los polos de la función se determinan los residuos para cada uno de ellos. Esa relación esta dada de la siguiente manera:

Método de fracciones parciales:

Cuando estamos analizando sistemas digitales es importante determinar la función de transferencia del mismo. La función de transferencia de un sistema se define como la relación o cociente que existe entre la transformada z de la secuencia de salida y la transformada z de la secuencia de entrada (en sistemas analógicos la relación esta dada por el cociente de las transformadas de Laplace de entrada y salida del sistema respectivamente).

Dado que la función de transferencia esta descrita por el cociente de dos polinomios; el primero C(z) como los ceros de la función, y el segundo P(z) como los polos del sistema. Al anti transformar en Z este tipo de funciones, resulta útil el método de fracciones parciales.

Sea F(z) una expresión que representa el cociente entre dos polinomios expresada de la siguiente forma:

El primer paso es dividir toda la F(z) por una z. A partir de aquí, se puede proceder a separar el cociente de polinomios en sus respectivas fracciones parciales.

Hecho esto, hay que diferenciar tres casos:

Caso 1. Polos reales no repetidos

Cuando se presenta el caso de tener polos reales no repetidos, es fácil obtener las fracciones parciales.

Lo primero que se realiza es dividir la función entre z.

Sus fracciones parciales se obtendrían como se presenta a continuación:

Podemos obtener que A+B+C= 0 y -1.5A -0.9B – 0.6C= 1. Además, 0.54A= 0.8. Los resultados para A, B y C son A= 1.481, B= -7.778 y C= 6.296.

De aquí solo resta fijarnos en la tabla de transformadas Z y encontrar la antitransformada de cada uno de los términos. De esa forma determinamos f[n]:

Caso 2. Polos reales repetidos

El primer paso es nuevamente dividir toda la F(z) por una z.

Se separan sus fracciones parciales. La separación de fracciones esta dada de la siguiente forma:

Volviendo al ejemplo, la separación quedaría de la siguiente manera:

Finalmente por inspección podemos determinar:

Caso 3. Polos complejos no repetidos

Trabajar con números complejos es complicado y más aún al querer obtener las fracciones parciales de una función. Por lo cual resulta útil emplear algún software matemático como Matlab, Octave o Scilab entre otros.

Para el caso de Octave:

Primero, dividimos toda la F(z) entre una z.

Después, se declaran las variables correspondientes a las partes del numerador (ceros) y denominador (polos) de la función. Nótese que solo se declara el factor numérico (coeficientes con sus signos). De igual manera se coloca un "0" como ultimo termino para la parte de los polos (esto se debe a que estamos multiplicando por z).

Posteriormente se aplica la función [r,p,k]=residue(C,P) para aplicar la expansión de fracciones parciales a la función.

Donde:

r es un vector que contiene los residuos de la expansión de fracciones parciales.

p es un vector que contiene los polos de la expansión de fracciones parciales.

k es un vector que contiene los términos directos de la expansión de fracciones parciales

Se ordenan las expansiones de las fracciones parciales de los polos y los ceros.

Ya con las fracciones parciales dadas por Octave, el siguiente paso es representar en forma polar (magnitud y ángulo en radianes) cada número complejo. Para ello podemos ocupar la función [angulo,magnitud] = cart2pol(real,imaginario)

La representación polar de cada número complejo es la siguiente:

Entonces, nuestras fracciones parciales nos quedan como se presenta a continuación:

Por ende, f[n] nos quedaría de la siguiente forma:

Esta sería una respuesta correcta. De aquí, lo único que quedaría por hacer sería aplicar las propiedades de los números complejos que podamos utilizar para simplificar la función:

cos(a + b) se puede representar en números complejos como:

La forma general de una función discreta f[n] de una transformada Z inversa resultante de una función con polos complejos es la siguiente:

Donde:

M1 es la magnitud del numerador de las fracciones parciales.

M es la magnitud del denominador de las fracciones parciales.

a es el ángulo positivo del denominador.

b es el ángulo del numerador de la fracción parcial correspondiente al ángulo positivo del denominador.

Método de serie de potencias (división larga):

El método de serie de potencias es otra técnica para obtener la anti transformada en Z de una función racional. Consiste en expresar la función como una suma infinita de términos de la forma a_n z^n, donde a_n son los coeficientes de la serie. Luego, se aplica la propiedad de linealidad de la anti transformada en Z y se usa la tabla de pares transformados para obtener la anti transformada de cada término. Finalmente, se suma el resultado de todas las anti transformadas para obtener la solución.