Introducción
El estudio de la cinemática de robots requiere
herramientas sistemáticas que permitan modelar y analizar la estructura y el
movimiento de sus mecanismos. Una de las más utilizadas a nivel mundial es
el algoritmo de Denavit-Hartenberg (D-H), considerado el estándar
en la descripción matemática de manipuladores robóticos y cadenas cinemáticas.
Origen del Algoritmo
El algoritmo fue desarrollado en 1955 por Jaques Denavit y Richard
Hartenberg. Ellos introdujeron un método matricial que sistematiza la
asignación de sistemas de coordenadas y la parametrización matemática de
eslabones y articulaciones, posibilitando la representación precisa de la
cinemática de robots y mecanismos articulados.
¿Qué es el Algoritmo de Denavit-Hartenberg?
El algoritmo de Denavit-Hartenberg es un procedimiento
que permite describir la relación espacial (posición y orientación) entre los
eslabones consecutivos de un robot, utilizando para cada uno cuatro parámetros
conocidos como parámetros D-H:
- θ
(theta): Ángulo de rotación alrededor del eje z.
- d: Distancia
de traslación a lo largo del eje z.
- a: Longitud
del eslabón, medida a lo largo del eje x.
- α
(alpha): Ángulo de torsión entre ejes z
consecutivos, rotación alrededor del eje x.
Estos parámetros se utilizan para definir una matriz de transformación homogénea Ai que describe cómo pasar de un sistema de coordenadas de un eslabón al siguiente.
¿Para qué sirve el Algoritmo D-H?
El algoritmo cumple funciones fundamentales:
- Modelado
cinemático directo: Permite calcular la posición y
orientación del efector final del robot a partir de los valores de las
articulaciones.
- Modelado
cinemático inverso: Sirve como base para deducir los
valores de las articulaciones requeridos para alcanzar una determinada
posición o trayectoria.
- Simulación
y control: Facilita el diseño, control y simulación de
robots industriales y de servicio, además de aplicaciones en campos como
la medicina y la exploración espacial.
¿Cómo se aplica el Algoritmo D-H?
Su uso sigue pasos sistemáticos:
- Numerar
los eslabones y las articulaciones del robot.
- Asignar
un sistema de coordenadas a cada eslabón según reglas precisas,
identificando los ejes zi y xi.
- Identificar
si la articulación es rotativa (revoluta) o lineal (prismática).
- Determinar
los cuatro parámetros D-H para cada par eslabón-articulación.
- Construir
para cada par la matriz de transformación homogénea.
- Multiplicar
secuencialmente las matrices para deducir la posición y orientación final
del robot respecto a su base.
Construcción de la Matriz Homogénea
La matriz homogénea en el algoritmo de Denavit-Hartenberg (D-H) surge de
la necesidad de describir la posición y orientación relativa entre dos
eslabones consecutivos de un robot, de forma sistemática y matemática,
combinando rotaciones y traslaciones en el espacio tridimensional.
Para obtener esta matriz homogénea, se considera que cada transformación
entre sistemas de referencia adyacentes (asociados a cada eslabón) puede
descomponerse en cuatro transformaciones básicas, aplicadas en un orden fijo:
- Rotación
alrededor del eje z del sistema actual por un ángulo θi.
- Traslación
a lo largo del eje z por una distancia di.
- Traslación
a lo largo del eje x por una distancia ai.
- Rotación
alrededor del eje x por un ángulo αi.
Cada una de estas transformaciones puede representarse como una matriz
homogénea 4x4 (que combina rotación y traslación), y su producto en ese orden
da la matriz homogénea total que transforma coordenadas del sistema i−1 al
sistema i.
Detalle paso a paso para construir la matriz
homogénea Ai
Dado el eslabón i,
la matriz homogénea de transformación Ai viene de multiplicar:
rotación alrededor del
eje z por 
:
traslación a lo largo del
eje z por distancia :
traslación a lo largo del
eje x por distancia ai:
rotación alrededor del
eje x por 
:
Producto total
La matriz homogénea
del eslabón i es el producto:
Si multiplicamos estas
matrices, queda la forma estándar:
¿Por qué esta
matriz es homogénea?
- Las primeras tres filas y columnas forman
una matriz de rotación 3×3 que describe orientación.
- La columna 4 (excepto el último
1) indica la traslación en x, y, z.
- La última fila [0, es homogénea
para permitir combinación de rotaciones y traslaciones en una sola matriz.
Cálculo paso a paso
para obtener la posición del efector final
Para encontrar la
posición y orientación del efector final de un robot, se realiza la
multiplicación secuencial de las matrices Ai para cada
eslabón:
Esta matriz T transforma
coordenadas del sistema base al sistema final del efector.
La posición
final 
está en la última columna (salvo el elemento inferior que es 1):
